Упр.4.28 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin\left(2t-\frac{\pi}{3}\right)<\frac{\sqrt{3}}{2}$$; б) $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-4t\right)\geq-\frac{1}{2}$$; в) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-3t\right)\leq-\frac{\sqrt{2}}{2}$$; г) $$\cos\left(3t+\frac{\pi}{6}\right)>\frac{1}{2}$$.

а) $$\sin\left(2t-\frac{\pi}{3}\right)<\frac{\sqrt3}{2}$$

Значение $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$$ достигается при

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$2t-\frac{\pi}{3}\in\left(-\infty;\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;+\infty\right).$$

Удобнее записать ответ через промежутки для аргумента синуса:

$$2t-\frac{\pi}{3}\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$t\in\left(-\frac{\pi}{12}+\pi k;\frac{\pi}{3}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{11\pi}{12}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-4t\right)\ge -\frac12$$

Значение $$\sin x=-\frac12$$ достигается при

$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{5\pi}{6}-4t\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

Решаем неравенство:

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi k\le \frac{5\pi}{6}-4t\le \frac{7\pi}{6}+2\pi k$$

$$-\pi+2\pi k\le -4t\le \frac{\pi}{3}+2\pi k$$

$$-\frac{\pi}{3}-2\pi k\le 4t\le \pi-2\pi k$$

$$-\frac{\pi}{12}-\frac{\pi k}{2}\le t\le \frac{\pi}{4}-\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Это можно записать как

$$t\in\left[-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-3t\right)\le -\frac{\sqrt2}{2}$$

Значение $$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$$ достигается при

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}-3t\in\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi k;-\frac{\pi}{4}+2\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

Решаем:

$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi k\le \frac{\pi}{4}-3t\le -\frac{\pi}{4}+2\pi k$$

$$-\pi+2\pi k\le -3t\le -\frac{\pi}{2}+2\pi k$$

$$\frac{\pi}{2}-2\pi k\le 3t\le \pi-2\pi k$$

$$\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi k}{3}\le t\le \frac{\pi}{3}-\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$t\in\left[\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\cos\left(3t+\frac{\pi}{6}\right)>\frac12$$

Значение $$\cos x=\frac12$$ достигается при

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Для неравенства $$\cos x>\frac12$$ имеем

$$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$3t+\frac{\pi}{6}\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Решаем:

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi k<3t+\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{3}+2\pi k$$

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<3t<\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

$$-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}<t<\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$t\in\left(-\frac{\pi}{12}+\pi k;\frac{\pi}{3}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{11\pi}{12}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

б) $$t\in\left[-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in\mathbb Z$$

в) $$t\in\left[\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right],\ n\in\mathbb Z$$

г) $$t\in\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3};\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}\right),\ k\in\mathbb Z$$