Упр.4.24 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\cos t \ge 0$$; б) $$\sin t \ge 0$$; в) $$\sin t < 1$$; г) $$\cos t > -1$$; д) $$\sin t < 0$$; е) $$\cos t \le 0$$.

Рассмотрим значения тригонометрических функций на единичной окружности.

1. $$\cos t \ge 0$$

   Косинус неотрицателен в I и IV четвертях:

   $$t \in \left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin t \ge 0$$

   Синус неотрицателен в I и II четвертях:

   $$t \in \left[0+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin t < 1$$

   Синус равен $$1$$ только при $$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, поэтому:

   $$t \ne \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos t > -1$$

   Косинус равен $$-1$$ только при $$t=\pi+2\pi n$$, значит:

   $$t \ne \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

5. $$\sin t < 0$$

   Синус отрицателен в III и IV четвертях:

   $$t \in \left[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

6. $$\cos t \le 0$$

   Косинус неположителен во II и III четвертях:

   $$t \in \left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$t \in \left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$
б) $$t \in \left[0+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$
в) $$t \ne \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
г) $$t \ne \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
д) $$t \in \left[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$
е) $$t \in \left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$