Упр.4.20 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

10. Сравните числа: а) $$\sin\frac{9\pi}{10}$$ и $$\sin\frac{5\pi}{6}$$; б) $$\cos 2$$ и $$\sin 2$$; в) $$\sin\left(-\frac{3\pi}{8}\right)$$ и $$\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)$$; г) $$\cos\frac{\pi}{9}$$ и $$\cos\frac{\pi}{7}$$; д) $$\cos 1$$ и $$\sin 1$$; е) $$\cos\left(-\frac{5\pi}{9}\right)$$ и $$\cos\left(-\frac{7\pi}{8}\right)$$.

Используем свойства монотонности тригонометрических функций на соответствующих промежутках.

1. $$\frac{9\pi}{10} > \frac{5\pi}{6},$$

   а на промежутке $$\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$$ функция $$\sin x$$ убывает, значит

   $$\sin\frac{9\pi}{10} < \sin\frac{5\pi}{6}.$$

2. $$\cos 2 \approx -0{,}42,\qquad \sin 2 \approx 0{,}91,$$

   следовательно,

   $$\cos 2 < \sin 2.$$

3. $$-\frac{3\pi}{8} < -\frac{\pi}{8},$$

   а функция $$\sin x$$ возрастает на всей числовой прямой в пределах промежутка $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$, значит

   $$\sin\left(-\frac{3\pi}{8}\right) < \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right).$$

4. $$\frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{7},$$

   а на промежутке $$[0,\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, значит

   $$\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{\pi}{7}.$$

5. $$\cos 1 \approx 0{,}54,\qquad \sin 1 \approx 0{,}84,$$

   следовательно,

   $$\cos 1 < \sin 1.$$

6. Так как косинус — чётная функция, то

   $$\cos\left(-\frac{5\pi}{9}\right)=\cos\frac{5\pi}{9},\qquad \cos\left(-\frac{7\pi}{8}\right)=\cos\frac{7\pi}{8}.$$

   Причём

   $$\frac{5\pi}{9} < \frac{7\pi}{8},$$

   а на промежутке $$[0,\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, значит

   $$\cos\left(-\frac{5\pi}{9}\right) > \cos\left(-\frac{7\pi}{8}\right).$$

Ответ: а) $$\sin\frac{9\pi}{10} < \sin\frac{5\pi}{6}$$; б) $$\cos 2 < \sin 2$$; в) $$\sin\left(-\frac{3\pi}{8}\right) < \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)$$; г) $$\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{\pi}{7}$$; д) $$\cos 1 < \sin 1$$; е) $$\cos\left(-\frac{5\pi}{9}\right) > \cos\left(-\frac{7\pi}{8}\right)$$.