Упр.4.15 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) $$\frac{\cos t-1}{\sin t}$$; б) $$\frac{4-\cos^2 t}{2\cos t-\sqrt{3}}$$; в) $$\frac{4\sin t-3}{\cos t}$$; г) $$\frac{\sin^2 t+5}{\sqrt{2}\sin t}+1$$.

Найдём значения переменной, при которых знаменатель не обращается в ноль.

1. $$\dfrac{\cos t-1}{\sin t}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$\sin t\ne 0$$

   Отсюда

   $$t\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\dfrac{4-\cos^2 t}{2\cos t-\sqrt{3}}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$2\cos t-\sqrt{3}\ne 0$$

   $$\cos t\ne \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

   Значит,

   $$t\ne \pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$\dfrac{4\sin t-3}{\cos t}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$\cos t\ne 0$$

   Следовательно,

   $$t\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$\dfrac{\sin^2 t+5}{\sqrt{2}\sin t+1}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$\sqrt{2}\sin t+1\ne 0$$

   $$\sin t\ne -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

   Отсюда

   $$t\ne -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\quad t\ne \dfrac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

а) $$t\ne \pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$
б) $$t\ne \pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$
в) $$t\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$
г) $$t\ne -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ t\ne \dfrac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$