Упр.3.8 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. На числовой окружности отметьте дуги, для всех точек которых абсцисса и ордината: а) положительны; б) неотрицательны; в) больше $$0{,}5$$; г) не меньше $$0{,}7$$; д) не больше $$-0{,}4$$; е) больше $$0{,}8$$.

На числовой окружности абсцисса точки равна $$\cos t,$$ а ордината — $$\sin t.$$ Поэтому нужно отметить дуги, где соответствующая тригонометрическая функция удовлетворяет заданному неравенству.

1. $$\cos t>0$$ — правая полуплоскость окружности:

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   $$\sin t>0$$ — верхняя полуплоскость:

   $$0+2\pi k<t<\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos t\ge 0$$ — правая полуокружность:

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi k\le t\le \frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   $$\sin t\ge 0$$ — верхняя полуокружность:

   $$0+2\pi k\le t\le \pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos t>0{,}5=\frac12$$:

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   $$\sin t>0{,}5=\frac12$$:

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos t\ge 0{,}7$$:

   $$-\arccos 0{,}7+2\pi k\le t\le \arccos 0{,}7+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   $$\sin t\ge 0{,}7$$:

   $$\arcsin 0{,}7+2\pi k\le t\le \pi-\arcsin 0{,}7+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

5. $$\cos t\le -0{,}4$$:

   $$\arccos(-0{,}4)+2\pi k\le t\le 2\pi-\arccos(-0{,}4)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   $$\sin t\le -0{,}4$$:

   $$\pi+\arcsin 0{,}4+2\pi k\le t\le 2\pi-\arcsin 0{,}4+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

6. $$\cos t>0{,}8$$:

   $$-\arccos 0{,}8+2\pi k<t<\arccos 0{,}8+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   $$\sin t>0{,}8$$:

   $$\arcsin 0{,}8+2\pi k<t<\pi-\arcsin 0{,}8+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ: дуги, соответствующие указанным промежуткам для $$\cos t$$ и $$\sin t$$.