Упр.3.6 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Изобразите дугу числовой окружности, ординаты точек которой удовлетворяют данному неравенству, и запишите с помощью двойного неравенства, каким числам $$t$$ эти точки соответствуют: а) $$y>0$$; б) $$y<0$$; в) $$y<\frac{\sqrt{2}}{2}$$; г) $$y<-\frac{\sqrt{2}}{2}$$; д) $$y<-\frac{\sqrt{3}}{2}$$; е) $$y>-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

На числовой окружности ордината точки равна $$y=\sin t.$$ Поэтому нужно найти те значения $$t,$$ при которых выполняются данные неравенства для синуса.

1. $$y>0$$

   Синус положителен в верхней полуплоскости, значит

   $$0+2\pi m<t<\pi+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

2. $$y<0$$

   Синус отрицателен в нижней полуплоскости, значит

   $$\pi+2\pi m<t<2\pi+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

3. $$y<\dfrac{\sqrt2}{2}$$

   Равенство $$\sin t=\dfrac{\sqrt2}{2}$$ достигается при

   $$t=\dfrac{\pi}{4}+2\pi m \quad \text{и} \quad t=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi m.$$

   Следовательно, искомые значения $$t$$ лежат вне дуги между этими точками:

   $$-\dfrac{5\pi}{4}+2\pi m<t<\dfrac{\pi}{4}+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

4. $$y<-\dfrac{\sqrt2}{2}$$

   Равенство $$\sin t=-\dfrac{\sqrt2}{2}$$ достигается при

   $$t=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi m \quad \text{и} \quad t=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi m.$$

   Тогда

   $$-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi m<t<-\dfrac{\pi}{4}+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

5. $$y<-\dfrac{\sqrt3}{2}$$

   Равенство $$\sin t=-\dfrac{\sqrt3}{2}$$ достигается при

   $$t=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi m \quad \text{и} \quad t=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m.$$

   Следовательно,

   $$-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m<t<-\dfrac{\pi}{3}+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

6. $$y>-\dfrac{\sqrt3}{2}$$

   Равенство $$\sin t=-\dfrac{\sqrt3}{2}$$ достигается при

   $$t=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi m \quad \text{и} \quad t=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi m.$$

   Тогда искомые значения $$t$$ соответствуют дуге, где синус больше этого числа:

   $$-\dfrac{\pi}{3}+2\pi m<t<\dfrac{4\pi}{3}+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$2\pi m<t<\pi+2\pi m$$;
б) $$\pi+2\pi m<t<2\pi+2\pi m$$;
в) $$-\dfrac{5\pi}{4}+2\pi m<t<\dfrac{\pi}{4}+2\pi m$$;
г) $$-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi m<t<-\dfrac{\pi}{4}+2\pi m$$;
д) $$-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m<t<-\dfrac{\pi}{3}+2\pi m$$;
е) $$-\dfrac{\pi}{3}+2\pi m<t<\dfrac{4\pi}{3}+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$