Упр.3.5 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Изобразите дугу числовой окружности, абсциссы точек которой удовлетворяют данному неравенству, и запишите с помощью двойного неравенства, каким числам $$t$$ эти точки соответствуют:

а) $$x<0$$; б) $$x>0$$; в) $$x>\frac{1}{2}$$; г) $$x<\frac{1}{2}$$; д) $$x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$$; е) $$x>-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

На числовой окружности абсцисса точки равна $$x=\cos t.$$ Тогда каждому неравенству для $$x$$ соответствуют такие значения $$t$$:

1. $$x<0$$

   Это левая полуокружность, поэтому

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$x>0$$

   Это правая полуокружность, поэтому

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$x>\frac12$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$x<\frac12$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$x<-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Получаем

   $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$x>-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Тогда

   $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$