Упр.3.14 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

а) Найдите все значения параметра $$p$$, при которых один из корней уравнения $$x^2-3x-p^2-2=0$$ больше другого на 7.

б) Найдите все значения параметра $$p$$, при которых один из корней уравнения $$2x^2-(3p-5)x+3p=0$$ равен $$p$$.

а) Обозначим корни уравнения $$x^2-3x-p^2-2=0$$ через $$x_1$$ и $$x_2$$, причём $$x_2=x_1+7$$.

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=3,\qquad x_1x_2=-p^2-2.$$

Тогда

$$x_1+(x_1+7)=3,$$

$$2x_1=-4,\qquad x_1=-2,\qquad x_2=5.$$

Следовательно,

$$x_1x_2=-2\cdot 5=-10.$$

Получаем:

$$-p^2-2=-10,$$

$$p^2=8,$$

$$p=\pm 2\sqrt{2}.$$

б) Пусть один из корней уравнения $$2x^2-(3p-5)x+3p=0$$ равен $$p$$. Подставим $$x=p$$:

$$2p^2-(3p-5)p+3p=0.$$

Упростим:

$$2p^2-3p^2+5p+3p=0,$$

$$-p^2+8p=0,$$

$$p(p-8)=0.$$

Отсюда

$$p=0 \text{ или } p=8.$$

Ответ: а) $$p=\pm 2\sqrt{2}$$; б) $$p=0,\ 8$$.