Упр.3.13 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) Составьте квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами, между корнями которого заключено 75 натуральных чисел. б) Составьте квадратный трёхчлен с рациональными коэффициентами, между корнями которого заключено 52 целых числа, хотя бы одно из которых отрицательное.

Пусть корни квадратного трёхчлена равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда трёхчлен имеет вид $$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$.

а)

Нужно, чтобы между корнями было $$75$$ натуральных чисел. Возьмём, например, корни $$-38$$ и $$37$$. Тогда между ними лежат числа $$1,2,\dots,37$$ и $$0,-1,\dots,-37$$ не считаются натуральными, всего натуральных чисел между корнями ровно $$75$$.

Составим трёхчлен:

$$x^2-(-38+37)x+(-38)\cdot 37=x^2+x-1406.$$

Ответ: $$x^2+x-1406=0$$.

б)

Нужно, чтобы между корнями было $$52$$ целых числа, причём хотя бы одно из них отрицательное. Возьмём корни $$-26{,}1$$ и $$26{,}9$$. Тогда между ними лежат целые числа $$-26,-25,\dots,26$$, всего $$52$$ числа, и среди них есть отрицательные.

Составим трёхчлен:

$$x^2-(-26{,}1+26{,}9)x+(-26{,}1)\cdot 26{,}9=x^2-0{,}8x-701{,}09.$$

Умножим на $$100$$, чтобы получить рациональные коэффициенты:

$$100x^2-80x-70109=0.$$

Ответ: $$100x^2-80x-70109=0$$.