Упр.3.10 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
Найдите на числовой окружности все точки, координаты которых удовлетворяют системе неравенств, и запишите с помощью двойного неравенства, каким числам $$t$$ они соответствуют:
а) $$\begin{cases}x\le 0,\\y\le 0;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x\ge \frac{1}{2},\\y\ge \frac{1}{2};\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x\ge -\frac{\sqrt{2}}{2},\\y\le \frac{\sqrt{3}}{2};\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x\ge 0,\\y\le 0;\end{cases}$$
д) $$\begin{cases}x\le \frac{\sqrt{2}}{2},\\y\ge \frac{\sqrt{3}}{2};\end{cases}$$
е) $$\begin{cases}x\ge -\frac{1}{2},\\y\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{cases}$$
Пусть точка числовой окружности имеет координаты $$x=\cos t,\quad y=\sin t.$$ Тогда для каждого пункта находим соответствующие значения $$t$$.
$$\cos t\le 0,\quad \sin t\le 0.$$
Это III четверть, включая границы:
$$\pi+2\pi n\le t\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos t\ge \frac12,\quad \sin t\ge \frac12.$$
Это I четверть, где обе координаты не меньше $$\frac12$$:
$$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos t\ge -\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin t\le \frac{\sqrt3}{2}.$$
Получаем два промежутка:
$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos t\ge 0,\quad \sin t\le 0.$$
Это IV четверть, включая границы:
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le t\le 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos t\le \frac{\sqrt2}{2},\quad \sin t\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$
Это дуга в I и II четвертях:
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos t\ge -\frac12,\quad \sin t\ge -\frac{\sqrt3}{2}.$$
Получаем дугу от $$-\frac{\pi}{3}$$ до $$\frac{2\pi}{3}$$:
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ:
а) $$\pi+2\pi n\le t\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$;
б) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{\pi}{3}+2\pi n$$;
в) $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ и $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{\pi}{3}+2\pi n$$;
г) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le t\le 2\pi n$$;
д) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$;
е) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
