Упр.2.5 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее отрицательное число, которому на числовой окружности соответствует точка М с заданными координатами в декартовой системе координат:

а) $$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$$

б) $$M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

в) $$M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

г) $$M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Для точки $$M(x;y)$$ на числовой окружности соответствующее число можно записать в виде угла $$\alpha$$, для которого

$$x=\cos \alpha,\qquad y=\sin \alpha.$$

Нужно найти наибольшее отрицательное число, то есть угол из интервала $$(-2\pi;0)$$ с данными координатами.

1. $$M\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)$$

   Этой точке соответствует угол $$\alpha=\frac{\pi}{6}$$. Наибольшее отрицательное сонаправленное число:

   $$\frac{\pi}{6}-2\pi=\frac{\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6}.$$

2. $$M\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)$$

   Этой точке соответствует угол $$\alpha=\frac{3\pi}{4}$$. Тогда

   $$\frac{3\pi}{4}-2\pi=\frac{3\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}.$$

3. $$M\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$$

   Этой точке соответствует угол $$\alpha=\frac{\pi}{3}$$. Наибольшее отрицательное число:

   $$\frac{\pi}{3}-2\pi=\frac{\pi}{3}-\frac{6\pi}{3}=-\frac{5\pi}{3}.$$

4. $$M\left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right)$$

   Этой точке соответствует угол $$\alpha=\frac{5\pi}{4}$$. Тогда

   $$\frac{5\pi}{4}-2\pi=\frac{5\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}.$$

Ответ: а) $$-\frac{11\pi}{6}$$; б) $$-\frac{5\pi}{4}$$; в) $$-\frac{5\pi}{3}$$; г) $$-\frac{3\pi}{4}$$.