Упр.2.4 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Задача

Найдите наименьшее положительное число, которому на числовой окружности соответствует точка М с заданными координатами в декартовой системе координат: а) $$M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$; б) $$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)$$; в) $$M\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$; г) $$M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$; д) $$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$$; е) $$M\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$.

Подробный ответ

На числовой окружности координаты точки имеют вид $$M(\cos \alpha;\sin \alpha).$$ Поэтому для каждой точки находим соответствующий угол $$\alpha$$ в промежутке $$0<\alpha\le 2\pi.$$

$$M\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)$$

Это точка I четверти, значит
$$\alpha=\frac{\pi}{4}.$$
$$M\left(\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right)$$

Это точка IV четверти, значит
$$\alpha=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}.$$
$$M\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$$

Это точка II четверти, значит
$$\alpha=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.$$
$$M\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)$$

Это точка II четверти, значит
$$\alpha=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.$$
$$M\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)$$

Это точка I четверти, значит
$$\alpha=\frac{\pi}{6}.$$
$$M\left(-\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right)$$

Это точка III четверти, значит
$$\alpha=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.$$