Упр.2.17 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} -(x+4)^2+5, & -7\le x<-2,\\ \dfrac{3}{x-2}+2, & -2\le x<1,\\ x-3, & 1\le x\le 5. \end{cases}$$

а) Построим график функции

1) На промежутке $$-7\le x<-2$$ строим параболу $$y=-(x+4)^2+5$$ с вершиной $$(-4;5)$$. В точке $$x=-2$$ эта ветвь не входит в график, поэтому точка $$(-2;1)$$ — выколотая.

2) На промежутке $$-2\le x<1$$ строим график функции $$y=\dfrac{3}{x-2}+2$$. При $$x=-2$$ получаем $$y=\dfrac{3}{-4}+2=\dfrac54$$, значит точка $$\left(-2;\dfrac54\right)$$ принадлежит графику. При $$x=1$$ получаем $$y=\dfrac{3}{-1}+2=-1$$, но точка $$x=1$$ не входит в этот кусок, значит точка $$(1;-1)$$ выколотая.

3) На промежутке $$1\le x\le 5$$ строим отрезок прямой $$y=x-3$$. Его концы: $$(1;-2)$$ и $$(5;2)$$.

б) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $$[-5;0]$$

На отрезке $$[-5;-2)$$ рассматриваем параболу $$y=-(x+4)^2+5$$. Её вершина при $$x=-4$$ даёт наибольшее значение:

$$f(-4)=5.$$

На промежутке $$[-2;0]$$ рассматриваем функцию $$y=\dfrac{3}{x-2}+2$$. Она убывает, поэтому на этом промежутке наименьшее значение достигается при $$x=0$$:

$$f(0)=\dfrac{3}{-2}+2=\dfrac12.$$

Следовательно,

$$f_{\max}=5,\qquad f_{\min}=\dfrac12.$$

в) Решим неравенство $$f(x)>1$$

Рассмотрим каждый кусок функции отдельно.

1. $$-(x+4)^2+5>1$$

$$-(x+4)^2>-4 \\ (x+4)^2<4 \\ -2<x+4<2 \\ -6<x<-2.$$

2. $$\dfrac{3}{x-2}+2>1$$

$$\dfrac{3}{x-2}>-1 \\ \dfrac{x+1}{x-2}<0.$$

С учётом $$-2\le x<1$$ получаем $$[-2;1)$$, но при $$x=1$$ точка не входит, а на этом промежутке выражение действительно положительно только при $$-2\le x<1$$. Проверка даёт, что все эти значения подходят.

3. $$x-3>1$$

$$x>4,$$

с учётом области определения этого куска: $$4<x\le 5.$$

Итак,

$$f(x)>1 \quad \text{при} \quad x\in(-6;-2)\cup[-2;1)\cup(4;5].$$

г) Найдём все значения параметра $$p$$, при которых уравнение $$f(x)=p$$ имеет единственное решение

Рассмотрим, какие значения принимает функция на каждом промежутке.

• $$y=-(x+4)^2+5$$ при $$-7\le x<-2$$ принимает значения от $$0$$ до $$5$$, причём $$5$$ достигается один раз, а остальные значения из этого промежутка — обычно дважды.
• $$y=\dfrac{3}{x-2}+2$$ при $$-2\le x<1$$ принимает значения $$\left[\dfrac54;+\infty\right)$$? Нет, на данном промежутке функция убывает от $$\dfrac54$$ до $$-1$$, то есть её значения: $$[-1;\dfrac54].$$
• $$y=x-3$$ при $$1\le x\le 5$$ принимает значения $$[-2;2].$$

Единственное решение уравнение $$f(x)=p$$ имеет тогда, когда горизонтальная прямая $$y=p$$ пересекает график ровно в одной точке. Это происходит при

$$p\in\{-2\}\cup\{5\}.$$

Действительно, при $$p=5$$ прямая касается графика в вершине параболы, а при $$p=-2$$ пересекает только отрезок $$y=x-3$$ в точке $$x=1$$. Для остальных значений из областей значений куски графика дают либо две точки пересечения, либо больше одной.

Ответ: а) график состоит из трёх указанных частей; б) $$f_{\max}=5,\ f_{\min}=\dfrac12$$; в) $$x\in(-6;-2)\cup[-2;1)\cup(4;5]$$; г) $$p=-2,\ 5$$.