Упр.2.11 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

На числовой окружности укажите точку Р, координаты которой удовлетворяют данным условиям, и запишите все числа, которым соответствует эта точка.

а) $$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$x<0$$

б) $$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$x<0$$

в) $$y=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$x>0$$

г) $$y=-\frac{1}{2}$$, $$x>0$$

На числовой окружности координаты точки имеют вид $$x=\cos t,\quad y=\sin t.$$

1. $$y=\frac{\sqrt3}{2},\quad x<0.$$

   Значение $$\sin t=\frac{\sqrt3}{2}$$ достигается при

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Условие $$x<0$$ выполняется во II четверти, значит подходит только

   $$t=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$y=-\frac{\sqrt2}{2},\quad x<0.$$

   Значение $$\sin t=-\frac{\sqrt2}{2}$$ достигается при

   $$t=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad t=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Условие $$x<0$$ выполняется в III четверти, значит

   $$t=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$y=\frac{\sqrt2}{2},\quad x>0.$$

   Значение $$\sin t=\frac{\sqrt2}{2}$$ достигается при

   $$t=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad t=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Условие $$x>0$$ выполняется в I четверти, значит

   $$t=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$y=-\frac12,\quad x>0.$$

   Значение $$\sin t=-\frac12$$ достигается при

   $$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Условие $$x>0$$ выполняется в IV четверти, значит

   $$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$t=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$$; б) $$t=\frac{5\pi}{4}+2\pi k$$; в) $$t=\frac{\pi}{4}+2\pi k$$; г) $$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$