Упр.10.9 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнения:

а) $$\sin x=-x$$; б) $$\sin x=\sqrt{x}$$; в) $$\sin x=\left|x-\frac{\pi}{2}\right|+1$$; г) $$\sin x=x$$; д) $$\sin x=\sqrt{x-\pi}$$; е) $$\sin x=-\left|x+\frac{\pi}{2}\right|-1$$.

Подробный ответ

Рассмотрим каждое уравнение как равенство графика функции $$y=\sin x$$ и соответствующей правой части.

$$\sin x=-x$$
Функция $$y=\sin x$$ и прямая $$y=-x$$ пересекаются только в начале координат, так как при $$x=0$$ получаем $$\sin 0=0$$.
$$x=0$$
$$\sin x=\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0$$. Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, а $$\sin x\le 1$$, проверим возможные точки пересечения. При $$x=0$$ имеем $$\sin 0=0=\sqrt{0}$$.
Для $$x>0$$ значение $$\sqrt{x}$$ быстро становится больше $$1$$, а $$\sin x\le 1$$, поэтому других решений нет.
$$x=0$$
$$\sin x=\left|x-\frac{\pi}{2}\right|+1$$
Правая часть не меньше $$1$$, то есть
$$\left|x-\frac{\pi}{2}\right|+1\ge 1.$$
Но $$\sin x\le 1$$, значит равенство возможно только при
$$\sin x=1,\qquad \left|x-\frac{\pi}{2}\right|+1=1.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{2}.$$
$$\sin x=x$$
Графики $$y=\sin x$$ и $$y=x$$ пересекаются в начале координат. Действительно, при $$x=0$$ имеем $$\sin 0=0$$.
Других точек пересечения нет, так как для $$x\ne 0$$ выполняется $$|\sin x|<|x|$$ в окрестности нуля, а при больших $$|x|$$ правая часть по модулю больше $$1$$, тогда как $$|\sin x|\le 1$$.
$$x=0$$
$$\sin x=\sqrt{x-\pi}$$
Область определения: $$x\ge \pi$$. При $$x=\pi$$ получаем
$$\sin \pi=0,\qquad \sqrt{\pi-\pi}=0.$$
Значит, $$x=\pi$$ — решение.
При $$x>\pi$$ правая часть неотрицательна, а значения $$\sin x$$ на промежутке $$[\pi,2\pi]$$ не превосходят $$1$$; единственная точка пересечения получается при $$x=\pi$$.
$$x=\pi$$
$$\sin x=-\left|x+\frac{\pi}{2}\right|-1$$
Правая часть не больше $$-1$$, то есть
$$-\left|x+\frac{\pi}{2}\right|-1\le -1.$$
Так как $$\sin x\ge -1$$, равенство возможно только при
$$\sin x=-1,\qquad -\left|x+\frac{\pi}{2}\right|-1=-1.$$
Отсюда
$$x=-\frac{\pi}{2}.$$