Упр.10.8 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
Сколько решений имеет система уравнений:
- $$\begin{cases} y=\sin x, \\ y=\sin\left(x^2-2\right); \end{cases}$$
- $$\begin{cases} \left|x-\frac{\pi}{2}\right|-y=2, \\ y=\sin x; \end{cases}$$
- $$\begin{cases} y=\frac{2}{x}, \\ y=\sin x; \end{cases}$$
- $$\begin{cases} y=\sin x, \\ y=\sin\left(x^2-4x\right); \end{cases}$$
- $$\begin{cases} \left|x+\frac{3\pi}{2}\right|-y=1, \\ y=\sin x; \end{cases}$$
- $$\begin{cases} y=\sin x, \\ y=-\frac{3}{x}; \end{cases}$$
Рассмотрим каждую систему как задачу на число точек пересечения графиков.
$$y=\sin x$$ и $$y=\sin(x^2-2)$$.
Обе функции ограничены значениями $$-1\le y\le 1$$, а графики пересекаются в двух точках.
Ответ: $$2$$ решения.
$$|x-\frac{\pi}{2}|-y=2$$ и $$y=\sin x$$.
Первое уравнение равносильно
$$y=|x-\frac{\pi}{2}|-2.$$
График этой функции пересекает график $$y=\sin x$$ в двух точках.
Ответ: $$2$$ решения.
$$y=\frac{2}{x}$$ и $$y=\sin x$$.
Рассмотрим уравнение пересечения:
$$\frac{2}{x}=\sin x.$$
Так как $$\left|\sin x\right|\le 1$$, то должно быть $$\left|\frac{2}{x}\right|\le 1$$, то есть $$|x|\ge 2$$. На этих промежутках графики пересекаются бесконечно много раз.
Ответ: бесконечно много решений.
$$y=\sin x$$ и $$y=\sin(x^2-4x)$$.
Графики пересекаются в двух точках.
Ответ: $$2$$ решения.
$$|x+\frac{3\pi}{2}|-y=1$$ и $$y=\sin x$$.
Первое уравнение равносильно
$$y=|x+\frac{3\pi}{2}|-1.$$
Графики пересекаются в двух точках.
Ответ: $$2$$ решения.
$$y=\sin x$$ и $$y=-\frac{3}{x}.$$
Уравнение пересечения:
$$\sin x=-\frac{3}{x}.$$
Так как $$\left|\sin x\right|\le 1$$, то необходимо $$\left|\frac{3}{x}\right|\le 1$$, то есть $$|x|\ge 3$$. На этих промежутках графики не пересекаются.
Ответ: решений нет.
