Упр.10.4 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\sin x$$ на заданном промежутке: а) $$\left(\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right)$$; б) $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right)$$; в) $$\left(-\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{6}\right)$$; г) $$\left(\frac{\pi}{3};\frac{7\pi}{6}\right)$$; д) $$\left(2;\frac{\pi}{5}\right)$$; е) $$(-3;7)$$.

Функция $$y=\sin x$$ на промежутках принимает наименьшее и наибольшее значения в зависимости от того, какие точки входят в промежуток.

1. На $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right]$$:

   $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1.$$

   Значит, $$y_{\min}=\frac12,\quad y_{\max}=1.$$

2. На $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right]$$:

   $$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12,\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$

   Значит, $$y_{\min}=-\frac12,\quad y_{\max}=\frac12.$$

3. На $$\left[-\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{6}\right]$$:

   $$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1.$$

   Значит, $$y_{\min}=-\frac{\sqrt3}{2},\quad y_{\max}=1.$$

4. На $$\left[\frac{\pi}{3};\frac{7\pi}{6}\right]$$:

   $$\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1.$$

   Значит, $$y_{\min}=-\frac12,\quad y_{\max}=1.$$

5. На $$\left(2;\frac{\pi}{5}\right)$$ промежуток пуст, так как $$2>\frac{\pi}{5}.$$

   Следовательно, на этом промежутке функция не определяет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

6. На $$(-3;7)$$:

   Так как в промежуток входят точки, в которых $$\sin x=1$$ и $$\sin x=-1,$$ то

   $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=1.$$

Ответ: а) $$\frac12$$ и $$1$$; б) $$-\frac12$$ и $$\frac12$$; в) $$-\frac{\sqrt3}{2}$$ и $$1$$; г) $$-\frac12$$ и $$1$$; д) значений нет; е) $$-1$$ и $$1$$.