Упр.10.3 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$. Найдите:
   а) $$f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$;
   б) $$f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$;
   в) $$f(\pi-x)$$;
   г) $$f(x-\pi)$$;
   д) $$f(x)-f(-x)$$;
   е) $$f(x+2\pi)-f(-x)$$.

Пусть $$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$ Тогда последовательно найдём нужные выражения.

1. $$f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$
2. $$f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{6}-x\right).$$
3. $$f(\pi-x)=\sin\left(\pi-x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{4\pi}{3}-x\right).$$
4. $$f(x-\pi)=\sin\left(x-\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right).$$
5. $$f(x)-f(-x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(-x+\frac{\pi}{3}\right).$$
   Используем формулу $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}:$$
   $$f(x)-f(-x)=2\cos\frac{\pi}{3}\sin x=\sin x.$$
6. $$f(x+2\pi)-f(-x)=\sin\left(x+2\pi+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(-x+\frac{\pi}{3}\right).$$
   Так как $$\sin(x+2\pi)=\sin x,$$ получаем
   $$f(x+2\pi)-f(-x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right).$$
   По формуле разности синусов:
   $$f(x+2\pi)-f(-x)=2\cos\frac{\pi}{3}\sin x=\sin x.$$

Ответ: а) $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right);$$ б) $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-x\right);$$ в) $$\sin\left(\frac{4\pi}{3}-x\right);$$ г) $$\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right);$$ д) $$\sin x;$$ е) $$\sin x.$$