Упр.10.27 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\left|x^2-x-2\right|+\left|x-2\right|$$.
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$[-2;1]$$.
в) Найдите все значения $$x$$, при которых график функции $$y=f(x)$$ находится не выше прямой $$y=-2x+4$$.
г) Найдите все значения параметра $$p$$, при которых уравнение $$f(x)=p$$ имеет более двух решений.
Рассмотрим функцию $$f(x)=|x^2-x-2|+|x-2|.$$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$
Нули выражений под модулем: $$x=-1,\; x=2.$$ Поэтому разбиваем ось на промежутки.
1) Если $$x\ge 2,$$ то оба выражения неотрицательны, и
$$f(x)=x^2-x-2+x-2=x^2-4.$$
2) Если $$-1\le x<2,$$ то $$x^2-x-2\le 0,$$ а $$x-2<0,$$ значит
$$f(x)=-(x^2-x-2)-(x-2)=-x^2+4.$$
3) Если $$x<-1,$$ то $$x^2-x-2>0,$$ а $$x-2<0,$$ значит
$$f(x)=x^2-x-2-(x-2)=x^2-2x.$$
Итак,
$$f(x)= \begin{cases} x^2-2x, & x<-1,\\ -x^2+4, & -1\le x<2,\\ x^2-4, & x\ge 2. \end{cases}$$
а) График функции
График состоит из частей парабол:
- $$y=x^2-2x,\quad x<-1;$$
- $$y=-x^2+4,\quad -1\le x<2;$$
- $$y=x^2-4,\quad x\ge 2.$$
Опорные точки: $$(-1,3),\ (0,4),\ (2,0).$$
б) Наибольшее и наименьшее значения на $$[-2;1]$$
На отрезке $$[-2;1]$$ используем первые две формулы:
$$f(x)= \begin{cases} x^2-2x, & -2\le x<-1,\\ -x^2+4, & -1\le x\le 1. \end{cases}$$
Проверим значения в концах и в точке склейки:
$$f(-2)=(-2)^2-2\cdot(-2)=8,$$
$$f(-1)=(-1)^2-2\cdot(-1)=3,$$
$$f(0)=4,$$
$$f(1)=3.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$8,$$ наименьшее — $$3.$$
в) При каких $$x$$ график функции не выше прямой $$y=-2x+4$$
Решаем неравенство $$f(x)\le -2x+4$$ по промежуткам.
1) При $$x<-1$$:
$$x^2-2x\le -2x+4 \;\Longrightarrow\; x^2\le 4 \;\Longrightarrow\; -2\le x\le 2.$$
С учётом условия $$x<-1$$ получаем $$x\in[-2;-1).$$
2) При $$-1\le x<2$$:
$$-x^2+4\le -2x+4 \;\Longrightarrow\; -x^2+2x\le 0 \;\Longrightarrow\; x(x-2)\ge 0.$$
На этом промежутке подходит только $$x=0$$ и $$x=2,$$ но $$2$$ не входит, значит $$x\in[-1;0]\cup\{2\}.$$
3) При $$x\ge 2$$:
$$x^2-4\le -2x+4 \;\Longrightarrow\; x^2+2x-8\le 0 \;\Longrightarrow\; (x+4)(x-2)\le 0.$$
С учётом $$x\ge 2$$ получаем $$x=2.$$
Объединяя все случаи, имеем:
$$x\in[-2;0]\cup\{2\}.$$
г) При каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет более двух решений
Рассмотрим горизонтальную прямую $$y=p.$$ По графику видно, что:
- при $$p<0$$ решений нет;
- при $$p=0$$ одно решение;
- при $$0<p<3$$ два решения;
- при $$p=3$$ три решения;
- при $$3<p<4$$ четыре решения;
- при $$p=4$$ три решения;
- при $$p>4$$ два решения.
Более двух решений уравнение имеет при
$$p\in[3;4].$$
Ответ: а) график задан кусочно; б) $$\max=8,\ \min=3$$; в) $$x\in[-2;0]\cup\{2\}$$; г) $$p\in[3;4].$$
