Упр.10.24 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- 10–24. Найдите натуральные решения неравенства:
а) $$(x^2-11x+30)(x-6)\le 0$$
б) $$\frac{9x-x^2-14}{x-7}\ge 0$$
в) $$(x^2-10x+16)(x-8)\le 0$$
г) $$\frac{14x-x^2-45}{x-9}\ge 0$$
а) $$\left(x^2-11x+30\right)(x-6)\le 0$$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2-11x+30=(x-5)(x-6).$$
Тогда
$$\left(x-5\right)\left(x-6\right)^2\le 0.$$
Так как $$\left(x-6\right)^2\ge 0,$$ знак произведения определяется множителем $$x-5.$$ Поэтому
$$x-5\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 5.$$
Натуральные решения:
$$x\in\{1,2,3,4,5\}.$$
б) $$\frac{9x-x^2-14}{x-7}\ge 0$$
Преобразуем числитель:
$$9x-x^2-14=-(x^2-9x+14)=-(x-7)(x-2).$$
Тогда при $$x\ne 7$$
$$\frac{-(x-7)(x-2)}{x-7}=-(x-2)\ge 0.$$
Отсюда
$$x-2\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 2,$$
при этом $$x\ne 7$$ автоматически выполняется. Натуральные решения:
$$x\in\{1,2\}.$$
в) $$\left(x^2-10x+16\right)(x-8)\le 0$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-10x+16=(x-2)(x-8).$$
Тогда
$$\left(x-2\right)\left(x-8\right)^2\le 0.$$
Так как $$\left(x-8\right)^2\ge 0,$$ получаем
$$x-2\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 2.$$
Натуральные решения:
$$x\in\{1,2\}.$$
г) $$\frac{14x-x^2-45}{x-9}\ge 0$$
Преобразуем числитель:
$$14x-x^2-45=-(x^2-14x+45)=-(x-5)(x-9).$$
Тогда при $$x\ne 9$$
$$\frac{-(x-5)(x-9)}{x-9}=-(x-5)\ge 0.$$
Следовательно,
$$x-5\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 5,$$
при этом $$x\ne 9$$ не нарушается. Натуральные решения:
$$x\in\{1,2,3,4,5\}.$$
Ответ
а) $$\{1,2,3,4,5\}$$; б) $$\{1,2\}$$; в) $$\{1,2\}$$; г) $$\{1,2,3,4,5\}$$.
