Упр.10.23 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

а) $$y=\frac{\sin^3 x}{1-\cos^2 x}$$

б) $$y=\sin x+\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x$$

а) $$y=\frac{\sin^3 x}{1-\cos^2 x}$$

Так как $$1-\cos^2 x=\sin^2 x,$$ то

$$y=\frac{\sin^3 x}{\sin^2 x}=\sin x.$$

При этом нужно учесть область определения исходного выражения:

$$1-\cos^2 x\ne 0 \;\Rightarrow\; \sin^2 x\ne 0 \;\Rightarrow\; \sin x\ne 0 \;\Rightarrow\; x\ne \pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Значит, график функции $$y=\frac{\sin^3 x}{1-\cos^2 x}$$ совпадает с графиком $$y=\sin x$$, но точки $$x=\pi n$$ исключаются.

б) $$y=\sin x+\tg x\cdot \ctg x$$

Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ то

$$y=\sin x+1.$$

Область определения исходной функции:

$$\cos x\ne 0,\qquad \sin x\ne 0,$$

то есть

$$x\ne \frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, график функции $$y=\sin x+1$$ нужно рассматривать с исключёнными точками, где не определены $$\tg x$$ и $$\ctg x$$.

Ответ

а) $$y=\sin x,\quad x\ne \pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$y=\sin x+1,\quad x\ne \frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$