Упр.10.22 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

а) $$y=\frac{\cos x}{\cos x}$$

б) $$y=\frac{\cos^2 x}{\cos x}$$

в) $$y=\frac{\sqrt{1-\sin^2 x}}{\cos x}$$

г) $$y=\frac{|\sin x|}{\sin x}$$

д) $$y=\frac{\cos^2 x}{1-\sin x}$$

е) $$y=\frac{\sin^2 x}{1-\cos x}$$

Упростим выражения и укажем область определения.

1. $$y=\frac{\cos x}{\cos x}=1,$$
   при этом $$\cos x\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2. $$y=\frac{\cos^2 x}{\cos x}=\cos x,$$
   при этом $$\cos x\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
3. $$y=\frac{\sqrt{1-\sin^2 x}}{\cos x}=\frac{|\cos x|}{\cos x},$$
   так как $$1-\sin^2 x=\cos^2 x.$$
   Поэтому
   $$y= \begin{cases} 1, & \cos x>0,\\ -1, & \cos x<0. \end{cases}$$
   Область определения:
   $$\cos x\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
4. $$y=\frac{|\sin x|}{\sin x},$$
   при этом $$\sin x\ne 0,\quad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
   Тогда
   $$y= \begin{cases} 1, & \sin x>0,\\ -1, & \sin x<0. \end{cases}$$
5. $$y=\frac{\cos^2 x}{1-\sin x}=\frac{1-\sin^2 x}{1-\sin x}=\frac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{1-\sin x}=1+\sin x,$$
   при этом $$1-\sin x\ne 0,\quad \sin x\ne 1,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
6. $$y=\frac{\sin^2 x}{1-\cos x}=\frac{1-\cos^2 x}{1-\cos x}=\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1-\cos x}=1+\cos x,$$
   при этом $$1-\cos x\ne 0,\quad \cos x\ne 1,\quad x\ne 2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1. $$1,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2. $$\cos x,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3. $$\dfrac{|\cos x|}{\cos x},\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4. $$\dfrac{|\sin x|}{\sin x},\quad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5. $$1+\sin x,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
6. $$1+\cos x,\quad x\ne 2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$