Упр.10.21 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
Постройте график функции:
а) $$y=|\sin x|$$;
б) $$y=\sin\left|x-\frac{\pi}{3}\right|$$;
в) $$y=\left|\sin x+\frac{1}{2}\right|$$;
г) $$y=\sin|x|$$.
Построим графики, используя преобразования графика функции $$y=\sin x$$.
$$y=|\sin x|$$
Берём график $$y=\sin x$$ и все его части, лежащие ниже оси $$Ox$$, отражаем симметрично вверх относительно оси $$Ox$$.
Получаем периодическую функцию с периодом $$\pi$$. Нули: $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$. Максимумы равны $$1$$ и достигаются при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k$$.
$$y=\sin\left|x-\frac{\pi}{3}\right|$$
Так как внутри синуса стоит модуль, то
$$y= \begin{cases} \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right), & x\ge \frac{\pi}{3},\\[4pt] \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right), & x<\frac{\pi}{3}. \end{cases}$$
Значит, правая часть графика $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$ отражается относительно прямой $$x=\frac{\pi}{3}$$ влево. График симметричен относительно этой прямой.
$$y=\left|\sin x+\frac12\right|$$
Сначала строим график $$y=\sin x+\frac12$$ — это график $$y=\sin x$$, сдвинутый вверх на $$\frac12$$. Затем все части, лежащие ниже оси $$Ox$$, отражаем вверх относительно оси $$Ox$$.
Нули получаем из уравнения $$\sin x+\frac12=0$$, то есть
$$\sin x=-\frac12.$$
Отсюда
$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
$$y=\sin|x|$$
Так как внутри синуса стоит модуль, то
$$y= \begin{cases} \sin x, & x\ge 0,\\[4pt] \sin(-x)=-\sin x, & x<0. \end{cases}$$
Следовательно, часть графика при $$x\ge 0$$ оставляем без изменений, а левую часть получаем отражением правой относительно оси $$Oy$$. График функции чётный.
Ответ: графики получаются из графика $$y=\sin x$$ указанными преобразованиями: отражением относительно оси $$Ox$$, сдвигом, отражением относительно прямой $$x=\frac{\pi}{3}$$ и отражением относительно оси $$Oy$$.
