Упр.10.20 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
Докажите, что функция $$y=\sin x$$ а) возрастает на отрезке $$[-7;\,-4{,}9]$$; б) убывает на интервале $$(8;\,10{,}1)$$; в) достигает своих наименьшего и наибольшего значений на интервале $$(\sqrt[3]{10};\,\sqrt{85})$$; г) не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значений на интервале $$(-5;\,-4)$$.
Функция $$y=\sin x$$ возрастает на каждом отрезке вида $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на каждом отрезке вида $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, где $$n\in\mathbb{Z}.$$
Для $$n=-1$$ получаем отрезок возрастания
$$\left[-\frac{\pi}{2}-2\pi;\,\frac{\pi}{2}-2\pi\right]\approx[-7{,}85;\,-4{,}71].$$
Так как $$[-7;\,-4{,}9]\subset[-7{,}85;\,-4{,}71],$$ то функция $$y=\sin x$$ возрастает на $$[-7;\,-4{,}9].$$
Для $$n=1$$ получаем отрезок убывания
$$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi\right]\approx[7{,}85;\,10{,}99].$$
Так как $$(8;\,10{,}1)\subset[7{,}85;\,10{,}99],$$ то функция $$y=\sin x$$ убывает на $$\left(8;\,10{,}1\right).$$
Найдём приближённо границы интервала:
$$\sqrt[3]{10}\approx2{,}15,\qquad \sqrt{85}\approx9{,}22.$$
Имеем
$$\frac{\pi}{2}\approx1{,}57<\sqrt[3]{10}\approx2{,}15<\sqrt{85}\approx9{,}22<\frac{5\pi}{2}\approx7{,}85,$$
то есть интервал $$\left(\sqrt[3]{10};\,\sqrt{85}\right)$$ содержит точки, в которых $$\sin x$$ принимает и наименьшее значение $$-1,$$ и наибольшее значение $$1.$$
Интервал $$(-5;\,-4)$$ целиком лежит внутри промежутка
$$\left[-\frac{3\pi}{2};\,-\frac{\pi}{2}\right]\approx[-4{,}71;\,-1{,}57],$$
на котором функция $$y=\sin x$$ возрастает, но значения $$-1$$ и $$1$$ на открытом интервале $$(-5;\,-4)$$ не достигаются, так как его концы не входят в интервал.
Ответ: а) возрастает; б) убывает; в) достигает наименьшего и наибольшего значений; г) не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значений.
