Упр.10.19 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- Найдите область значений функции:
а) $$y=2\sin x-\sqrt{\cos^2 x-1}$$
б) $$y=5\cos 2x+\sqrt{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-1}$$
в) $$y=\sin x+\cos 2x+\sqrt{3\sin^2 x-4}$$
г) $$y=\sin x+\cos x+2\sqrt{2\cos^2 2x-2}$$
а) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$\cos^2 x-1\ge 0.$$
Но $$\cos^2 x\le 1,$$ значит $$\cos^2 x-1\le 0.$$
Следовательно, возможно только
$$\cos^2 x-1=0 \Rightarrow \cos x=\pm 1.$$
Тогда $$\sqrt{\cos^2 x-1}=0,$$ а $$\sin x=0,$$ поэтому
$$y=2\sin x-\sqrt{\cos^2 x-1}=0.$$
Значит, область значений:
$$\{0\}.$$
б) Аналогично,
$$\sin^2 \frac{x}{2}-1\ge 0.$$
Так как $$\sin^2 \frac{x}{2}\le 1,$$ то возможно только
$$\sin^2 \frac{x}{2}-1=0 \Rightarrow \sin \frac{x}{2}=\pm 1.$$
Тогда $$\cos 2x=\cos \left(4\cdot \frac{x}{2}\right)=\cos 2\pi =1$$ при подходящих значениях $$x,$$ а корень равен нулю. Удобнее взять, например, $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k,$$ тогда $$x=\pi+2\pi k,$$ и
$$y=5\cos 2x+\sqrt{\sin^2 \frac{x}{2}-1}=5\cdot 1+0=5.$$
Следовательно, область значений:
$$\{5\}.$$
в) Для существования корня нужно
$$3\sin^2 x-4\ge 0.$$
Но $$\sin^2 x\le 1,$$ значит
$$3\sin^2 x-4\le 3-4=-1<0.$$
Следовательно, подкоренное выражение никогда не бывает неотрицательным, и функция не определена ни при каком $$x.$$
Область значений отсутствует:
$$\varnothing.$$
г) Найдём область определения:
$$2\cos^2 2x-2\ge 0 \Rightarrow \cos^2 2x\ge 1.$$
Так как $$\cos^2 2x\le 1,$$ то
$$\cos^2 2x=1 \Rightarrow \cos 2x=\pm 1.$$
Значит,
$$2x=\pi k,\quad x=\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb{Z}.$$
При этих значениях $$\sqrt{2\cos^2 2x-2}=0,$$ и
$$y=\sin x+\cos x.$$
Если $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ то $$y=1.$$
Если $$x=\pi n,$$ то $$y=\pm 1.$$
Возможные значения функции:
$$[-1;1].$$
Ответ
а) $$\{0\}$$; б) $$\{5\}$$; в) $$\varnothing$$; г) $$[-1;1]$$.
