Упр.10.18 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- Найдите область определения функции: а) $$y=\frac{\sqrt{x-3}}{\sin x}$$; б) $$y=\frac{\sqrt{16-x^2}}{\sin 2x}$$; в) $$y=\frac{\sqrt{x^2-8x+7}}{\sin 3x}$$; г) $$y=\frac{\sqrt{x^3+9x^2+18x}}{\sin x}$$.
Найдём область определения каждой функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля.
$$y=\frac{\sqrt{x-3}}{\sin x}$$
Требуется:
$$x-3\ge 0,\qquad \sin x\ne 0.$$
Отсюда
$$x\ge 3,\qquad x\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
Следовательно,
$$D=\{x\in \mathbb R\mid x\ge 3,\ x\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z\}.$$
$$y=\frac{\sqrt{16-x^2}}{\sin 2x}$$
Требуется:
$$16-x^2\ge 0,\qquad \sin 2x\ne 0.$$
Получаем
$$-4\le x\le 4,\qquad x\ne \frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z.$$
Значит,
$$D=\{x\in \mathbb R\mid -4\le x\le 4,\ x\ne \tfrac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z\}.$$
$$y=\frac{\sqrt{x^2-8x+7}}{\sin 3x}$$
Требуется:
$$x^2-8x+7\ge 0,\qquad \sin 3x\ne 0.$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-8x+7=(x-1)(x-7).$$
Тогда
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 7,$$
а также
$$x\ne \frac{\pi n}{3},\ n\in \mathbb Z.$$
Следовательно,
$$D=\{x\in \mathbb R\mid x\le 1 \text{ или } x\ge 7,\ x\ne \tfrac{\pi n}{3},\ n\in \mathbb Z\}.$$
$$y=\frac{\sqrt{x^3+9x^2+18x}}{\sin x}$$
Требуется:
$$x^3+9x^2+18x\ge 0,\qquad \sin x\ne 0.$$
Вынесем общий множитель и разложим на множители:
$$x^3+9x^2+18x=x(x^2+9x+18)=x(x+3)(x+6).$$
Решаем неравенство
$$x(x+3)(x+6)\ge 0.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in [-6,-3]\cup [0,+\infty).$$
И дополнительно
$$x\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
Итак,
$$D=\{x\in \mathbb R\mid x\in [-6,-3]\cup [0,+\infty),\ x\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z\}.$$
Ответ
а) $$D=\{x\in \mathbb R\mid x\ge 3,\ x\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z\}$$
б) $$D=\{x\in \mathbb R\mid -4\le x\le 4,\ x\ne \tfrac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z\}$$
в) $$D=\{x\in \mathbb R\mid x\le 1 \text{ или } x\ge 7,\ x\ne \tfrac{\pi n}{3},\ n\in \mathbb Z\}$$
г) $$D=\{x\in \mathbb R\mid x\in [-6,-3]\cup [0,+\infty),\ x\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z\}$$
