Упр.10.17 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:
а) $$\sin x\sqrt{(16-x)^2}\leq 0$$
б) $$\sin x\sqrt{16+6x-x^2}\leq 0$$

Подробный ответ

а) Чтобы произведение было неположительным, достаточно рассмотреть случаи, когда оба множителя неотрицательны и когда синус неположителен при неотрицательном корне.

Область определения:

$$16-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -4\le x\le 4.$$

Тогда

$$\sin x\cdot \sqrt{16-x^2}\le 0 \;\Rightarrow\; \sin x\le 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{16-x^2}=0.$$

На отрезке $$[-4,4]$$ неравенство $$\sin x\le 0$$ выполняется при

$$-\pi\le x\le 0.$$

Кроме того, $$\sqrt{16-x^2}=0$$ при $$x=\pm 4$$, но точки $$x=\pm 4$$ уже входят в область определения; при этом $$x=4$$ даёт произведение $$0$$, а $$x=-4$$ также даёт $$0$$.

Итак,

$$x\in[-4,0]\cup\{4\}.$$

б) Аналогично, сначала найдём область определения:

$$16+6x-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2-6x-16\le 0 \;\Rightarrow\; (x-8)(x+2)\le 0,$$

откуда

$$-2\le x\le 8.$$

Тогда

$$\sin x\cdot \sqrt{16+6x-x^2}\le 0 \;\Rightarrow\; \sin x\le 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{16+6x-x^2}=0.$$

На отрезке $$[-2,8]$$ имеем

$$\sin x\le 0 \quad \text{при} \quad -\pi\le x\le 0 \;\text{и}\; \pi\le x\le 2\pi.$$

Пересекаем с областью определения:

$$[-2,8]\cap\bigl([-\pi,0]\cup[\pi,2\pi]\bigr)=[-2,0]\cup[\pi,2\pi].$$