Упр.10.16 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\sin^2(x-14\pi)=1-\cos^2(10\pi-x)$$
   б) $$\cos^2(x+12\pi)=1-\sin^2(24\pi-x)$$

Используем периодичность тригонометрических функций и основные тождества:

$$\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha), \qquad \cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha).$$

а)

$$\sin^2(x-14\pi)=\sin^2 x,$$

так как $$14\pi=7\cdot 2\pi$$ и синус имеет период $$2\pi$$.

Кроме того,

$$\cos(10\pi-x)=\cos(-x)=\cos x,$$

поскольку $$10\pi=5\cdot 2\pi$$ и косинус — чётная функция.

Тогда

$$1-\cos^2(10\pi-x)=1-\cos^2 x=\sin^2 x.$$

Следовательно,

$$\sin^2(x-14\pi)=1-\cos^2(10\pi-x).$$

б)

$$\cos^2(x+12\pi)=\cos^2 x,$$

так как $$12\pi=6\cdot 2\pi$$ и косинус имеет период $$2\pi$$.

Далее,

$$\sin(24\pi-x)=\sin(-x)=-\sin x,$$

поскольку $$24\pi=12\cdot 2\pi$$ и синус — нечётная функция.

Значит,

$$1-\sin^2(24\pi-x)=1-(-\sin x)^2=1-\sin^2 x=\cos^2 x.$$

Следовательно,

$$\cos^2(x+12\pi)=1-\sin^2(24\pi-x).$$

Ответ

Тождества верны.