Упр.10.15 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=3x^2-2x-3$$. Докажите, что $$f(\cos x)=-2\cos x-3\sin^2 x$$.

   б) Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=5+3x-5x^2$$. Докажите, что $$f(\cos x)=3\cos x+5\sin^2 x$$.

а) Подставим вместо $$x$$ выражение $$\cos x$$:

$$f(\cos x)=3(\cos x)^2-2\cos x-3.$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, получаем:

$$f(\cos x)=3(1-\sin^2 x)-2\cos x-3.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$f(\cos x)=3-3\sin^2 x-2\cos x-3=-2\cos x-3\sin^2 x.$$

Итак, $$f(\cos x)=-2\cos x-3\sin^2 x$$.

б) Подставим вместо $$x$$ выражение $$\cos x$$:

$$f(\cos x)=5+3\cos x-5(\cos x)^2.$$

Используем тождество $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$f(\cos x)=5+3\cos x-5(1-\sin^2 x).$$

Упростим:

$$f(\cos x)=5+3\cos x-5+5\sin^2 x=3\cos x+5\sin^2 x.$$

Следовательно, $$f(\cos x)=3\cos x+5\sin^2 x$$.

Ответ: а) $$f(\cos x)=-2\cos x-3\sin^2 x$$; б) $$f(\cos x)=3\cos x+5\sin^2 x$$.