Упр.10.13 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$y=f(x)$$ является нечётной, если:
   а) $$f(x)=x^3+\sin x$$
   б) $$f(x)=x^2\sin x$$
   в) $$f(x)=\frac{\sin(x^3)}{x^2-\cos x}$$
   г) $$f(x)=5x^3-\sin x$$
   д) $$f(x)=-x^4\sin x$$
   е) $$f(x)=\frac{x^4\cos x-x^2}{\sin x}$$

Проверим для каждой функции, что $$f(-x)=-f(x).$$

1. $$f(x)=x^3+\sin x$$

   $$f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sin x=-(x^3+\sin x)=-f(x).$$

2. $$f(x)=x^2\sin x$$

   $$f(-x)=(-x)^2\sin(-x)=x^2(-\sin x)=-x^2\sin x=-f(x).$$

3. $$f(x)=\dfrac{\sin(x^3)}{x^2-\cos x}$$

   $$f(-x)=\dfrac{\sin((-x)^3)}{(-x)^2-\cos(-x)}=\dfrac{\sin(-x^3)}{x^2-\cos x}=\dfrac{-\sin(x^3)}{x^2-\cos x}=-f(x).$$

4. $$f(x)=5x^3-\sin x$$

   $$f(-x)=5(-x)^3-\sin(-x)=-5x^3+\sin x=-(5x^3-\sin x)=-f(x).$$

5. $$f(x)=-x^4\sin x$$

   $$f(-x)=-(-x)^4\sin(-x)=-x^4(-\sin x)=x^4\sin x=-f(x).$$

6. $$f(x)=\dfrac{x^4\cos x-x^2}{\sin x}$$

   $$f(-x)=\dfrac{(-x)^4\cos(-x)-(-x)^2}{\sin(-x)}=\dfrac{x^4\cos x-x^2}{-\sin x}=-\dfrac{x^4\cos x-x^2}{\sin x}=-f(x).$$

Во всех случаях выполнено равенство $$f(-x)=-f(x),$$ значит, данные функции нечётные.

Ответ

Все функции из пунктов а)–е) нечётные.