Упр.10.12 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$y=f(x)$$ является чётной, если:
   а) $$f(x)=x^2+x\sin x$$;
   б) $$f(x)=|x|\sin(x^2)$$;
   в) $$f(x)=\frac{\sin x}{x^3+x\cos x}$$;
   г) $$f(x)=|x|-x\sin x$$;
   д) $$f(x)=(x^3+x)\sin x$$;
   е) $$f(x)=\frac{x^3\cos x}{\sin x+x}$$.

Проверим для каждой функции, что $$f(-x)=f(x).$$

1. $$f(x)=x^2+x\sin x.$$

   $$f(-x)=(-x)^2+(-x)\sin(-x)=x^2+x\sin x=f(x).$$

2. $$f(x)=|x|\sin(x^2).$$

   $$f(-x)=|-x|\sin((-x)^2)=|x|\sin(x^2)=f(x).$$

3. $$f(x)=\dfrac{\sin x}{x^3+x\cos x}.$$

   $$f(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{(-x)^3+(-x)\cos(-x)}=\dfrac{-\sin x}{-x^3-x\cos x}=\dfrac{\sin x}{x^3+x\cos x}=f(x).$$

4. $$f(x)=|x|-x\sin x.$$

   $$f(-x)=|-x|-(-x)\sin(-x)=|x|-x\sin x=f(x).$$

5. $$f(x)=(x^3+x)\sin x.$$

   $$f(-x)=((-x)^3+(-x))\sin(-x)=(-x^3-x)(-\sin x)=(x^3+x)\sin x=f(x).$$

6. $$f(x)=\dfrac{x^3\cos x}{\sin x+x}.$$

   $$f(-x)=\dfrac{(-x)^3\cos(-x)}{\sin(-x)+(-x)}=\dfrac{-x^3\cos x}{-\sin x-x}=\dfrac{x^3\cos x}{\sin x+x}=f(x).$$

Во всех случаях $$f(-x)=f(x)$$, значит, функция чётная.

Ответ: все функции а)–е) чётные.