Упр.1.25 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим функцию по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{6}{x}, & -6\le x<-1,\\[4pt] (x-1)^2+2, & -1\le x<2,\\[4pt] \dfrac12x+2, & 2\le x\le 6. \end{cases}$$

а) Построим график функции

1) На промежутке $$-6\le x<-1$$ строим график функции $$y=-\dfrac{6}{x}$$. Для него удобно взять точки:

$$(-6;1),\;(-4;1{,}5),\;(-3;2),\;(-2;3).$$

2) На промежутке $$-1\le x<2$$ строим параболу $$y=(x-1)^2+2$$. Её вершина — точка $$(1;2)$$, а также она проходит через точки:

$$(-1;6),\;(0;3),\;(2;3).$$

3) На промежутке $$2\le x\le 6$$ строим отрезок прямой $$y=\dfrac12x+2$$. Для него подойдут точки:

$$(2;3),\;(4;4),\;(6;5).$$

б) Наибольшее и наименьшее значения функции

На первом промежутке $$y=-\dfrac{6}{x}$$ принимает значения от $$1$$ до почти $$6$$, на втором — от $$2$$ до $$6$$, на третьем — от $$3$$ до $$5$$.

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$6$$, а наименьшее — $$1$$.

в) Точки с целочисленными координатами

Найдём все точки графика, у которых обе координаты — целые числа:

• для $$y=-\dfrac{6}{x}$$: $$(-6;1),\;(-3;2),\;(-2;3);$$
• для $$y=(x-1)^2+2$$: $$(-1;6),\;(0;3),\;(1;2);$$
• для $$y=\dfrac12x+2$$: $$(2;3),\;(4;4),\;(6;5).$$

Итак, все такие точки:

$$(-6;1),\;(-3;2),\;(-2;3),\;(-1;6),\;(0;3),\;(1;2),\;(2;3),\;(4;4),\;(6;5).$$

г) Значения параметра $$p$$, при которых графики $$y=f(x)$$ и $$y=p$$ имеют две точки пересечения

Горизонтальная прямая $$y=p$$ должна пересекать график функции ровно в двух точках.

По графику видно:

• при $$1<p<2$$ пересечений нет;
• при $$p=2$$ есть две точки пересечения: на параболе и на прямой;
• при $$2<p<5$$ прямая пересекает график в двух точках;
• при $$p=5$$ также получается две точки пересечения;
• при $$p=6$$ — одна точка пересечения.

Значит, искомые значения параметра:

$$2\le p<6.$$

Ответ

$$\max f(x)=6,\qquad \min f(x)=1.$$

Точки с целочисленными координатами:

$$(-6;1),\;(-3;2),\;(-2;3),\;(-1;6),\;(0;3),\;(1;2),\;(2;3),\;(4;4),\;(6;5).$$

$$2\le p<6.$$