Упр.1.22 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) Замените знак * любой возможной цифрой так, чтобы число $$584\ 3*0$$ нацело делилось: 1) на 18; 2) на 12; 3) на 45; 4) на 30. Найдите все возможные варианты.
   б) Замените знак * любой возможной цифрой так, чтобы число $$7\ 526\ *40$$ нацело делилось: 1) на 12; 2) на 15; 3) на 60; 4) на 36. Найдите все возможные варианты.

а) Рассмотрим число $$5843*0.$$

1) Чтобы число делилось на $$18,$$ оно должно делиться на $$2$$ и на $$9.$$ Делимость на $$2$$ уже есть, так как число оканчивается на $$0.$$ Проверим делимость на $$9$$:

$$5+8+4+3+*+0=20+*.$$

Число $$20+*$$ должно делиться на $$9,$$ значит $$*=7.$$

Итак, $$584370$$ делится на $$18.$$

2) Чтобы число делилось на $$12,$$ оно должно делиться на $$3$$ и на $$4.$$ Делимость на $$4$$ определяется последними двумя цифрами $$*0,$$ значит $$*$$ — чётная цифра. Кроме того, сумма цифр должна делиться на $$3$$:

$$20+* \text{ делится на } 3.$$

Отсюда $$*=1,4,7.$$ Среди них чётная только $$4.$$

Значит, $$584340$$ делится на $$12.$$

3) Чтобы число делилось на $$45,$$ оно должно делиться на $$5$$ и на $$9.$$ Делимость на $$5$$ уже есть. Для делимости на $$9$$ нужно:

$$20+* \text{ делится на } 9,$$

откуда $$*=7.$$

Значит, $$584370$$ делится на $$45.$$

4) Чтобы число делилось на $$30,$$ оно должно делиться на $$2,$$ $$3$$ и $$5.$$ Делимость на $$2$$ и $$5$$ уже есть, остаётся делимость на $$3$$:

$$20+* \text{ делится на } 3.$$

Отсюда $$*=1,4,7.$$

Значит, подходят числа $$584310,$$ $$584340,$$ $$584370.$$

б) Рассмотрим число $$7526*40.$$

1) Чтобы число делилось на $$12,$$ оно должно делиться на $$3$$ и на $$4.$$ Делимость на $$4$$ есть, так как последние две цифры $$40$$ делятся на $$4.$$ Проверим делимость на $$3$$:

$$7+5+2+6+*+4+0=24+*.$$

Число $$24+*$$ должно делиться на $$3,$$ значит $$*=0,3,6,9.$$

Следовательно, подходят числа $$7526040,$$ $$7526340,$$ $$7526640,$$ $$7526940.$$

2) Чтобы число делилось на $$15,$$ оно должно делиться на $$3$$ и на $$5.$$ Делимость на $$5$$ уже есть. Для делимости на $$3$$ нужно:

$$24+* \text{ делится на } 3,$$

откуда $$*=0,3,6,9.$$

Подходят числа $$7526040,$$ $$7526340,$$ $$7526640,$$ $$7526940.$$

3) Чтобы число делилось на $$60,$$ оно должно делиться на $$3,$$ $$4$$ и $$5.$$ Делимость на $$4$$ и $$5$$ уже есть, остаётся делимость на $$3.$$ Поэтому снова:

$$*=0,3,6,9.$$

Подходят числа $$7526040,$$ $$7526340,$$ $$7526640,$$ $$7526940.$$

4) Чтобы число делилось на $$36,$$ оно должно делиться на $$4$$ и на $$9.$$ Делимость на $$4$$ есть. Проверим делимость на $$9$$:

$$24+* \text{ делится на } 9.$$

Отсюда $$*=3,6,9.$$

Значит, подходят числа $$7526340,$$ $$7526640,$$ $$7526940.$$

Ответ

а) 1) $$7$$; 2) $$4$$; 3) $$7$$; 4) $$1,4,7.$$

б) 1) $$0,3,6,9$$; 2) $$0,3,6,9$$; 3) $$0,3,6,9$$; 4) $$3,6,9.$$