Упр.1.20 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
В $$12{:}00$$ совпадают направления часовой и минутной стрелок. Пусть $$t$$ — время на часах, когда впервые после $$12{:}00$$ совпадут направления стрелок.
- Проверьте, что:
а) $$t>13\text{ ч }00\text{ мин}$$;
б) $$t>13\text{ ч }05\text{ мин}$$;
в) $$t<13\text{ ч }06\text{ мин}$$. - Найдите:
г) $$t$$;
д) время второго после $$12{:}00$$ совпадения;
е) количество совпадений за сутки от $$00{:}00$$ (включая) до $$24{:}00$$ (не включая).
Скорость минутной стрелки равна $$v_m=\frac{360^\circ}{60}=6^\circ/\text{мин},$$ а часовой — $$v_h=\frac{360^\circ}{720}=0{,}5^\circ/\text{мин}.$$
Значит, относительная скорость сближения стрелок:
$$v=6-0{,}5=5{,}5^\circ/\text{мин}=\frac{11}{2}^\circ/\text{мин}.$$
За время от 12:00 до первого совпадения минутная стрелка должна «догнать» часовую на $$360^\circ.$$ Тогда
$$t=\frac{360}{5{,}5}=\frac{360}{11/2}=\frac{720}{11}\text{ мин} = 65\frac{5}{11}\text{ мин}.$$
Это примерно $$1\text{ ч }5\text{ мин }27\frac{3}{11}\text{ с},$$ значит, первое совпадение после 12:00 происходит в $$13\text{ ч }05\text{ мин }27\frac{3}{11}\text{ с}.$$
Следовательно:
- $$t>13\text{ ч }00\text{ мин};$$
- $$t>13\text{ ч }05\text{ мин};$$
- $$t<13\text{ ч }06\text{ мин}.$$
Второе совпадение после 12:00 наступит через ещё $$\frac{720}{11}\text{ мин},$$ то есть через
$$2\cdot \frac{720}{11}=\frac{1440}{11}\text{ мин}=130\frac{10}{11}\text{ мин}.$$
Это равно $$2\text{ ч }10\text{ мин }54\frac{6}{11}\text{ с},$$ значит, второе совпадение будет в $$14\text{ ч }10\text{ мин }54\frac{6}{11}\text{ с}.$$
Совпадения повторяются через $$\frac{720}{11}\text{ мин}.$$ За сутки от 00:00 до 24:00 (не включая 24:00) число совпадений равно
$$\frac{24\cdot 60}{720/11}= \frac{1440\cdot 11}{720}=22.$$
Ответ: первое совпадение — в $$13\text{ ч }05\text{ мин }27\frac{3}{11}\text{ с},$$ второе — в $$14\text{ ч }10\text{ мин }54\frac{6}{11}\text{ с},$$ за сутки — $$22$$ совпадения.
