Упр.8.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 8.15 В треугольнике АВС известно, что АВ = 4корень(2) см, угол A = 45 градусов, угол C = 30 градусов. Найдите ВС, АС и площадь треугольника АВС.

Подробный ответ

Найдём третий угол треугольника:

$$\angle B=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}.$$

Тогда

$$BC=AB\cdot \frac{\sin A}{\sin C}=4\sqrt{2}\cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}=4\sqrt{2}\cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac12}=8\text{ см}.$$

Теперь найдём сторону $AC$. Рассмотрим проекции сторон на основание:

$$AC=AB\cos 45^\circ+BC\cos 30^\circ.$$

Подставим значения:

$$AC=4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4+4\sqrt{3}=4(1+\sqrt{3})\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12\cdot AC\cdot AB\cdot \sin C.$$

Тогда

$$S=\frac12\cdot 4(1+\sqrt{3})\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac12=8(\sqrt{3}+1)\text{ см}^2.$$