Упр.7.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 7.21 Вычислите sin t + cos t, если tg t — 1/tg t = -7/12 Рё 0 < t < РїРё/2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 mord10-11 7-21 109

Пусть $$x=\tg t.$$ Тогда из условия

$$x-\frac{1}{x}=-\frac{7}{12}.$$

Умножим на $$12x$$:

$$12x^2-12=-7x,$$

$$12x^2+7x-12=0.$$

Найдём корни:

$$D=7^2-4\cdot 12\cdot(-12)=49+576=625,$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 25}{24}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{18}{24}=\frac34,\qquad x_2=\frac{-32}{24}=-\frac43.$$

Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то $$\tg t>0,$$ значит, подходит только

$$\tg t=\frac34.$$

Тогда

$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac34\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}}=\frac45,$$

$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac34\cdot \frac45=\frac35.$$

Следовательно,

$$\sin t+\cos t=\frac35+\frac45=\frac75.$$

Ответ

$$\frac75$$