Упр.7.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (sin t + cos t)^2 — 1 = 2tg^2(t);
6) sin^3(t) * (1 + ctg t) + cos^3(t) * (1 + tg t) = sin t + cos t.

1. Докажем тождество

   $$\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\ctg t-\sin t\cos t}=2\tg^2 t.$$

   Преобразуем числитель:

   $$ (\sin t+\cos t)^2-1=\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t-1=2\sin t\cos t. $$

   Преобразуем знаменатель:

   $$ \ctg t-\sin t\cos t=\frac{\cos t}{\sin t}-\sin t\cos t =\frac{\cos t-\sin^2 t\cos t}{\sin t} =\frac{\cos t(1-\sin^2 t)}{\sin t} =\frac{\cos^3 t}{\sin t}. $$

   Тогда

   $$ \frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\ctg t-\sin t\cos t} =\frac{2\sin t\cos t}{\cos^3 t/\sin t} =\frac{2\sin^2 t}{\cos^2 t} =2\tg^2 t. $$

2. Докажем тождество

   $$\sin^3 t(1+\ctg t)+\cos^3 t(1+\tg t)=\sin t+\cos t.$$

   Используем определения тангенса и котангенса:

   $$ \sin^3 t\left(1+\frac{\cos t}{\sin t}\right)+\cos^3 t\left(1+\frac{\sin t}{\cos t}\right) $$

   $$ =\sin^3 t\cdot \frac{\sin t+\cos t}{\sin t}+\cos^3 t\cdot \frac{\cos t+\sin t}{\cos t} $$

   $$ =\sin^2 t(\sin t+\cos t)+\cos^2 t(\cos t+\sin t) $$

   $$ =(\sin^2 t+\cos^2 t)(\sin t+\cos t) =\sin t+\cos t. $$

Ответ

Оба тождества верны.