Упр.7.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (1 — sin^2(t)) / (1 — cos^2(t)) + tg t * ctg t;
б) (cos^2(t) — ctg^2(t)) / (sin^2(t) — tg^2(t)).

1. а) Преобразуем выражение:

   $$\frac{1-\sin^2 t}{1-\cos^2 t}+\tg t\cdot \ctg t$$

   Используем тождества $$1-\sin^2 t=\cos^2 t$$, $$1-\cos^2 t=\sin^2 t$$ и $$\tg t\cdot \ctg t=1$$:

   $$\frac{1-\sin^2 t}{1-\cos^2 t}+\tg t\cdot \ctg t=\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}+1=\frac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\sin^2 t}=\frac{1}{\sin^2 t}.$$

2. б) Преобразуем выражение:

   $$\frac{\cos^2 t-\ctg^2 t}{\sin^2 t-\tg^2 t}$$

   Подставим $$\ctg^2 t=\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$ и $$\tg^2 t=\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$:

   $$ \frac{\cos^2 t-\ctg^2 t}{\sin^2 t-\tg^2 t} = \frac{\cos^2 t-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t-\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} $$

   Приведём к общему виду:

   $$ \frac{\cos^2 t\left(1-\frac{1}{\sin^2 t}\right)}{\sin^2 t\left(1-\frac{1}{\cos^2 t}\right)} = \frac{\cos^2 t\cdot \frac{\sin^2 t-1}{\sin^2 t}}{\sin^2 t\cdot \frac{\cos^2 t-1}{\cos^2 t}} $$

   Так как $$\sin^2 t-1=-\cos^2 t$$, $$\cos^2 t-1=-\sin^2 t$$, получаем:

   $$ \frac{\cos^2 t\cdot \frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t\cdot \frac{-\sin^2 t}{\cos^2 t}} = \frac{\cos^4 t}{\sin^4 t}\cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\cos^6 t}{\sin^6 t} = \ctg^6 t. $$

Ответ

а) $$\frac{1}{\sin^2 t}$$; б) $$\ctg^6 t$$.