Упр.7.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin t / (1 + cos t) + sin t / (1 — cos t);
6) ctg^2(t) * (cos^2(t) — 1) + 1;
в) cos t / (1 + sin t) + cos t / (1 — sin t);
г) (tg t + 1) / (1 + ctg t).

1. а)

   $$\frac{\sin t}{1+\cos t}+\frac{\sin t}{1-\cos t}= \frac{\sin t(1-\cos t)+\sin t(1+\cos t)}{(1+\cos t)(1-\cos t)}$$
   $$=\frac{\sin t-\sin t\cos t+\sin t+\sin t\cos t}{1-\cos^2 t} =\frac{2\sin t}{\sin^2 t} =\frac{2}{\sin t}.$$

2. б)

   $$\operatorname{ctg}^2 t\cdot(\cos^2 t-1)+1= -\operatorname{ctg}^2 t\cdot(1-\cos^2 t)+1$$
   $$=-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\cdot \sin^2 t+1 =-\cos^2 t+1 =\sin^2 t.$$

3. в)

   $$\frac{\cos t}{1+\sin t}+\frac{\cos t}{1-\sin t}= \frac{\cos t(1-\sin t)+\cos t(1+\sin t)}{(1+\sin t)(1-\sin t)}$$
   $$=\frac{\cos t-\sin t\cos t+\cos t+\sin t\cos t}{1-\sin^2 t} =\frac{2\cos t}{\cos^2 t} =\frac{2}{\cos t}.$$

4. г)

   $$\frac{\operatorname{tg} t+1}{1+\operatorname{ctg} t} =\frac{\frac{\sin t}{\cos t}+1}{1+\frac{\cos t}{\sin t}} =\frac{\sin t+\cos t}{\cos t}\cdot\frac{\sin t}{\sin t+\cos t} =\frac{\sin t}{\cos t} =\operatorname{tg} t.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{\sin t}$$; б) $$\sin^2 t$$; в) $$\frac{2}{\cos t}$$; г) $$\operatorname{tg} t$$.