Упр.60.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) имеет два различных корня;
б) имеет ровно один корень;
в) не имеет действительных корней?

Рассмотрим уравнение

$$ax^2+4x-a+5=0.$$

Если $$a=0,$$ то уравнение становится линейным:

$$4x+5=0,$$

и имеет один корень.

Если $$a\ne 0,$$ то это квадратное уравнение. Его дискриминант равен

$$D=4^2-4\cdot a\cdot(-a+5)=16+4a^2-20a=4(a^2-5a+4)=4(a-1)(a-4).$$

Тогда:

• два различных корня, если $$D>0,$$ то есть $$a(a-1)(a-4)>0,$$ с учётом случая $$a=0$$ получаем $$a\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty);$$
• ровно один корень, если $$D=0$$ или $$a=0,$$ то есть $$a\in\{0;1;4\};$$
• действительных корней нет, если $$D<0,$$ то есть $$1<a<4.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty);$$

б) $$a\in\{0;1;4\};$$

в) $$1<a<4.$$