Упр.60.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) b^2x — bх > = b^2 + b — 2;
б) x/a + х < = а + 1.

1. а) $$b^2x-bx\ge b^2+b-2.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$x\,b(b-1)\ge b^2+b-2=(b-1)(b+2).$$

   Получаем:

   $$ (b-1)\bigl(xb-(b+2)\bigr)\ge 0.$$

   Рассмотрим случаи.

   • Если $$b=0$$ или $$b=1,$$ то левая часть равна $$0,$$ а неравенство верно при любом $$x\in\mathbb R.$$
   • Если $$b<0$$ или $$b>1,$$ то $$b(b-1)>0,$$ поэтому
     $$x\ge \frac{b+2}{b}.$$
   • Если $$0<b<1,$$ то $$b(b-1)<0,$$ поэтому знак неравенства меняется:
     $$x\le \frac{b+2}{b}.$$

2. б) $$\frac{x}{a}+x\le a+1.$$

   Приведём к общему множителю:

   $$x\left(\frac1a+1\right)\le a+1,$$

   $$x\cdot \frac{a+1}{a}\le a+1.$$

   Рассмотрим случаи.

   • Если $$a=0,$$ выражение не имеет смысла, поэтому решений нет.
   • Если $$a=-1,$$ то получаем $$0\le 0,$$ значит $$x\in\mathbb R.$$
   • Если $$a>0$$ или $$a<-1,$$ то $$\frac{a+1}{a}>0,$$ и после деления на положительное число:
     $$x\le a.$$
   • Если $$-1<a<0,$$ то $$\frac{a+1}{a}<0,$$ и знак неравенства меняется:
     $$x\ge a.$$

Ответ

а) $$x\ge \frac{b+2}{b},$$ если $$b<0$$ или $$b>1$$; $$x\le \frac{b+2}{b},$$ если $$0<b<1$$; $$x\in\mathbb R,$$ если $$b=0$$ или $$b=1.$$

б) $$x\le a,$$ если $$a>0$$ или $$a<-1$$; $$x\ge a,$$ если $$-1<a<0$$; $$x\in\mathbb R,$$ если $$a=-1$$; решений нет при $$a=0.$$