Упр.60.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) х (х + З)^2 + а = 0;
б) х^3 — 12х + 1 = а?

1. а) Рассмотрим уравнение

   $$x(x+3)^2+a=0.$$

   Обозначим

   $$y=x(x+3)^2=x^3+6x^2+9x.$$

   Тогда нужно, чтобы прямая $$y=-a$$ пересекала график функции $$y=x^3+6x^2+9x$$ в трёх точках.

   Найдём экстремумы:

   $$y’=3x^2+12x+9=3(x+3)(x+1).$$

   Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=-1$$.

   Вычислим значения функции в них:

   $$y(-3)=-27+54-27=0,$$

   $$y(-1)=-1+6-9=-4.$$

   Чтобы уравнение имело ровно три корня, должно выполняться

   $$-4<-a<0.$$

   Отсюда

   $$0<a<4.$$

2. б) Рассмотрим уравнение

   $$x^3-12x+1=a.$$

   Перепишем его в виде

   $$x^3-12x+1-a=0.$$

   Обозначим

   $$y=x^3-12x+1.$$

   Тогда нужно, чтобы прямая $$y=a$$ пересекала график функции в трёх точках.

   Найдём экстремумы:

   $$y’=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).$$

   Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=2$$.

   Вычислим значения функции:

   $$y(-2)=-8+24+1=17,$$

   $$y(2)=8-24+1=-15.$$

   Для трёх корней необходимо

   $$-15<a<17.$$

Ответ

а) $$0<a<4$$; б) $$-15<a<17$$.