Упр.60.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 48 * 4^х + 27 = а + а * 4^(x + 2);
б) 9^x + 2а * 3^(x + 1) + 9 = 0?

1. а) Преобразуем уравнение:

   $$48\cdot 4^x+27=a+a\cdot 4^{x+2}$$

   $$48\cdot 4^x+27=a+16a\cdot 4^x$$

   $$4^x(48-16a)=a-27$$

   $$16\cdot 4^x(3-a)=a-27$$

   $$4^x=\frac{a-27}{16(3-a)}$$

   Так как $$4^x>0$$ при любом $$x$$, то корней нет, если правая часть не положительна:

   $$\frac{a-27}{3-a}\le 0.$$

   Отсюда

   $$a\le 3 \quad \text{или} \quad a\ge 27.$$

   При $$a=3$$ получаем противоречие:

   $$48\cdot 4^x+27=3+3\cdot 4^{x+2}\;\Rightarrow\; 0=-24,$$

   значит, корней действительно нет.

2. б) Преобразуем уравнение:

   $$9^x+2a\cdot 3^{x+1}+9=0$$

   $$3^{2x}+6a\cdot 3^x+9=0.$$

   Сделаем замену $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем квадратное уравнение:

   $$t^2+6at+9=0.$$

   Чтобы уравнение не имело корней по $$x$$, оно не должно иметь положительных корней по $$t$$.

   Дискриминант:

   $$D=(6a)^2-4\cdot 1\cdot 9=36(a^2-1).$$

   Если $$D<0$$, то корней нет:

   $$a^2-1<0 \;\Rightarrow\; -1<a<1.$$

   Если $$D\ge 0$$, то корни:

   $$t_{1,2}=-3a\pm 3\sqrt{a^2-1}.$$

   При $$a\ge 1$$ оба корня неположительны, а при $$a\le -1$$ хотя бы один корень положителен, значит решение по $$x$$ существует. Следовательно, корней нет только при

   $$a>-1.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty)$$;

б) $$a>-1.$$