Упр.60.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) вершина параболы у = (За + 1) x^2 + 2х — 5 лежит внутри четвёртой координатной четверти;
б) вершина параболы у = Зx^2 + (4а — 1) х + 3 лежит внутри первой координатной четверти?

а) Для параболы $$y=(3a+1)x^2+2x-5$$ координаты вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2(3a+1)}=-\frac{1}{3a+1},$$

$$y_0=-\frac{D}{4a}=-\frac{2^2-4(3a+1)(-5)}{4(3a+1)}=-\frac{4+20(3a+1)}{4(3a+1)}=-\frac{15a+6}{3a+1}.$$

Чтобы вершина лежала внутри четвертой четверти, нужно:

$$x_0>0,\qquad y_0<0.$$

Тогда

$$-\frac{1}{3a+1}>0 \;\Rightarrow\; 3a+1<0,$$

$$-\frac{15a+6}{3a+1}<0 \;\Rightarrow\; 15a+6<0.$$

Получаем

$$a<-\frac13,\qquad a<-\frac25.$$

Следовательно,

$$a<-\frac25.$$

б) Для параболы $$y=3x^2+(4a-1)x+3$$ координаты вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4a-1}{2\cdot 3}=\frac{1-4a}{6},$$

$$y_0=-\frac{D}{4a}=-\frac{(4a-1)^2-4\cdot 3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{35+8a-16a^2}{12}.$$

Чтобы вершина лежала внутри первой четверти, нужно:

$$x_0>0,\qquad y_0>0.$$

Тогда

$$\frac{1-4a}{6}>0 \;\Rightarrow\; a<\frac14,$$

$$\frac{35+8a-16a^2}{12}>0 \;\Rightarrow\; 16a^2-8a-35<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D= (-8)^2-4\cdot 16\cdot(-35)=64+2240=2304,$$

$$a_{1,2}=\frac{8\pm 48}{32},\qquad a_1=-\frac54,\quad a_2=\frac74.$$

Значит,

$$-\frac54<a<\frac74.$$

С учётом условия $$a<\frac14$$ получаем

$$-\frac54<a<\frac14.$$

Ответ

а) $$a<-\frac25$$; б) $$-\frac54<a<\frac14$$.