Упр.60.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) выполняется при любых x;
б) не имеет решений?

Рассмотрим квадратный трехчлен

$$ax^2+4x-3+a>0.$$

Чтобы неравенство выполнялось при любых $$x$$, парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox$$:

$$a>0,\qquad D<0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot a\cdot(a-3)=16-4a^2+12a=-4(a+1)(a-4).$$

Тогда

$$-4(a+1)(a-4)<0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; (a+1)(a-4)>0,$$

откуда

$$a<-1 \;\;\text{или}\;\; a>4.$$

С учётом условия $$a>0$$ получаем:

$$a>4.$$

Теперь найдём, при каких значениях $$a$$ неравенство не имеет решений. Для этого парабола должна быть направлена вниз и не пересекать ось $$Ox$$:

$$a<0,\qquad D<0.$$

Из условия $$D<0$$ снова имеем

$$-4(a+1)(a-4)<0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; (a+1)(a-4)>0,$$

то есть

$$a<-1 \;\;\text{или}\;\; a>4.$$

С учётом условия $$a<0$$ получаем:

$$a<-1.$$

Ответ

а) $$a>4$$;

б) $$a<-1$$.