Упр.6.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) корень(sin^2(5) — 2sin(5)sin(11РїРё/6) + sin^2(11РїРё/6)) —
корень(sin^2(5РїРё/6) — 2sin(5РїРё/6)sin(5) + sin^2(5))

а) Используем формулу квадрата разности:

$$ \sqrt{\sin^2 5-2\sin 5\sin \frac{11\pi}{6}+\sin^2 \frac{11\pi}{6}} -\sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6}-2\sin \frac{5\pi}{6}\sin 5+\sin^2 5} $$
$$ =\sqrt{\left(\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right)^2} -\sqrt{\left(\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right)^2} $$
$$ =\left|\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right| -\left|\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right|. $$

Так как $$\sin \frac{11\pi}{6}=-\frac12$$, $$\sin \frac{5\pi}{6}=\frac12$$, а число $$5$$ лежит в IV четверти, то $$\sin 5<0$$. Тогда

$$ \left|\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right| =\left|\sin 5+\frac12\right| =-(\sin 5+\frac12), $$
$$ \left|\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right| =\left|\frac12-\sin 5\right| =\frac12-\sin 5. $$

$$ -(\sin 5+\frac12)-\left(\frac12-\sin 5\right)=-1. $$

б) Аналогично:

$$ \sqrt{\cos^2 4-2\cos 4\cos \frac{2\pi}{3}+\cos^2 \frac{2\pi}{3}} +\sqrt{\cos^2 4-2\cos 4\cos \frac{\pi}{3}+\cos^2 \frac{\pi}{3}} $$
$$ =\sqrt{\left(\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right)^2} +\sqrt{\left(\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right)^2} $$
$$ =\left|\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right| +\left|\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right|. $$

Так как $$\cos \frac{2\pi}{3}=-\frac12$$, $$\cos \frac{\pi}{3}=\frac12$$, а число $$4$$ лежит в III четверти, то $$\cos 4<0$$. Следовательно,

$$ \left|\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right| =\left|\cos 4+\frac12\right| =-(\cos 4+\frac12), $$
$$ \left|\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right| =\left|\cos 4-\frac12\right| =\frac12-\cos 4. $$

$$ -(\cos 4+\frac12)+\left(\frac12-\cos 4\right)=-2\cos 4. $$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-2\cos 4$$.