Упр.6.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) ctg(5) * (x — 1) > = 0;
б) (tg(7)cos(1))/sin(1) * (2×2-72) < 0; в) (tg(2)sin(5)) * (7-5х) < = 0; г) tg(1)ctg(2)tg(3)ctg(4) * (x2+2) > 0.

1. $$\ctg 5\cdot(x-1)\ge 0$$

   Так как $$3\pi/2<5<2\pi,$$ то $$\ctg 5<0.$$

   Тогда неравенство равносильно:

   $$x-1\le 0,$$

   $$x\le 1.$$

2. $$\frac{\tg 7\cdot \cos 1}{\sin 1}\cdot(2x^2-72)<0$$

   Поскольку $$2\pi<7<5\pi/2,$$ то $$\tg 7>0.$$

   Так как $$0<1<\pi/2,$$ то $$\sin 1>0$$ и $$\cos 1>0,$$ значит

   $$\frac{\tg 7\cdot \cos 1}{\sin 1}>0.$$

   Следовательно,

   $$2x^2-72<0,$$

   $$x^2-36<0,$$

   $$-6<x<6.$$

3. $$\bigl(\tg 2\cdot \sin 5\bigr)\cdot(7-5x)\le 0$$

   Так как $$\pi/2<2<\pi,$$ то $$\tg 2<0.$$

   А поскольку $$3\pi/2<5<2\pi,$$ то $$\sin 5<0.$$

   Значит, $$\tg 2\cdot \sin 5>0,$$ и неравенство равносильно:

   $$7-5x\le 0,$$

   $$x\ge \frac{7}{5}.$$

4. $$\tg 1\cdot \ctg 2\cdot \tg 3\cdot \ctg 4\cdot (x^2+2)>0$$

   Так как $$0<1<\pi/2,$$ $$\pi/2<2<\pi,$$ $$\pi/2<3<\pi,$$ $$\pi<4<3\pi/2,$$ то

   $$\tg 1>0,\quad \ctg 2<0,\quad \tg 3<0,\quad \ctg 4>0.$$

   Следовательно, $$\tg 1\cdot \ctg 2\cdot \tg 3\cdot \ctg 4>0.$$

   Кроме того, $$x^2+2>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}.$$

   Значит, неравенство верно при всех действительных $$x.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;1]$$; б) $$x\in(-6;6)$$; в) $$x\in\left[\frac{7}{5};+\infty\right)$$; г) $$x\in\mathbb{R}$$.