Упр.59.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
log2 x — log3 y = -5,
2 log2 x + 3 log3 у = 0;
б) система
cos x + cos 2y = -0,5,
3 cos 2y — cos x = 2,5;

1. $$\begin{cases} \log_2 x-\log_3 y=-5,\\ 2\log_2 x+3\log_3 y=0 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$3$$:
   $$3\log_2 x-3\log_3 y=-15.$$
   Складываем уравнения:
   $$5\log_2 x=-15,$$
   откуда
   $$\log_2 x=-3,\qquad x=2^{-3}=\frac18.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$-3-\log_3 y=-5,$$
   $$\log_3 y=2,\qquad y=3^2=9.$$

2. $$\begin{cases} \cos x+\cos 2y=-0{,}5,\\ 3\cos 2y-\cos x=2{,}5 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$4\cos 2y=2,$$
   $$\cos 2y=\frac12.$$
   Тогда
   $$2y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$
   Из первого уравнения:
   $$\cos x+\frac12=-\frac12,$$
   $$\cos x=-1,$$
   $$x=\pi+2\pi k.$$

3. $$\begin{cases} 2^{x+2y}-\sqrt{2x+y}=6,\\ 2\sqrt{2x+y}-2^{x+2y}=-2 \end{cases}$$
   Обозначим $$t=\sqrt{2x+y}$$. Тогда система принимает вид:
   $$\begin{cases} 2^{x+2y}-t=6,\\ 2t-2^{x+2y}=-2 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$t=2,$$
   значит
   $$\sqrt{2x+y}=2,\qquad 2x+y=4.$$
   Тогда из первого уравнения:
   $$2^{x+2y}-2=6,$$
   $$2^{x+2y}=8=2^3,$$
   $$x+2y=3.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} 2x+y=4,\\ x+2y=3 \end{cases}$$
   Получаем
   $$x=\frac53,\qquad y=\frac23.$$

4. $$\begin{cases} 2\sin 2x+\tg 3y=2,\\ 6\sin 2x-3\tg 3y=1 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$:
   $$\begin{cases} 4\sin 2x+2\tg 3y=4,\\ 6\sin 2x-3\tg 3y=1 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$10\sin 2x=5,$$
   $$\sin 2x=\frac12.$$
   Тогда
   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$
   Из первого уравнения:
   $$2\cdot \frac12+\tg 3y=2,$$
   $$\tg 3y=1,$$
   $$3y=\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad y=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}.$$

Ответ

1. $$\left(\frac18;9\right)$$
2. $$\left(\pi+2\pi k;\ \pm \frac{\pi}{6}+\pi n\right)$$
3. $$\left(\frac53;\frac23\right)$$
4. $$\left((-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\ \frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right)$$