Упр.59.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
х + у = -1,
x — z = 2,
xy + xz + yz = -1;
б) система
x + у + 2z = 0,
x + 2у + z = 1,
x^2 + y^2 + x^2 = 5.

Решение

а)

$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ x-z=2,\\ xy+xz+yz=-1. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$y=-1-x.$$

Из второго уравнения:

$$z=x-2.$$

Подставим в третье уравнение:

$$ x(-1-x)+x(x-2)+(-1-x)(x-2)=-1. $$

$$ -x-x^2+x^2-2x-x+2-x^2+2x+1=-1, $$

$$ -x^2-2x+3=-1, $$

$$ x^2+2x-4=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20, $$

$$ x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt{5}. $$

Тогда

$$ y=-1-x,\qquad z=x-2. $$

При $$x=-1+\sqrt5$$ получаем
$$ y=-\sqrt5,\qquad z=-3+\sqrt5. $$

При $$x=-1-\sqrt5$$ получаем
$$ y=\sqrt5,\qquad z=-3-\sqrt5. $$

б)

$$ \begin{cases} x+y+2z=0,\\ x+2y+z=1,\\ x^2+y^2+z^2=5. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$x=-y-2z.$$

Подставим во второе:

$$ (-y-2z)+2y+z=1, $$

$$ y-z=1, $$

$$ y=1+z. $$

Тогда

$$ x=-(1+z)-2z=-1-3z. $$

Подставим в третье уравнение:

$$ (-1-3z)^2+(1+z)^2+z^2=5, $$

$$ 1+6z+9z^2+1+2z+z^2+z^2=5, $$

$$ 11z^2+8z-3=0. $$

$$ D=8^2-4\cdot 11\cdot(-3)=196, $$

$$ z_{1,2}=\frac{-8\pm 14}{22}. $$

$$ z_1=-1,\qquad z_2=\frac{3}{11}. $$

Тогда:

при $$z=-1$$
$$ y=0,\qquad x=2; $$

при $$z=\frac{3}{11}$$
$$ y=\frac{14}{11},\qquad x=-\frac{20}{11}. $$

Ответ

а) $$(-1+\sqrt5;\,-\sqrt5;\,-3+\sqrt5),\;(-1-\sqrt5;\,\sqrt5;\,-3-\sqrt5)$$;
б) $$(2;\,0;\,-1),\;\left(-\frac{20}{11};\,\frac{14}{11};\,\frac{3}{11}\right).$$