Упр.59.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
x + 2у — 3z = -3,
2x — Зу + z = 8,
-x + у — 5z = -8;
б) система
3x — 5у + z = -13,
x + 3y — 2z = 5,
2x — 2у + 5z = -6.

1. а) Из первого и третьего уравнений сложим почленно:

   $$ (x+2y-3z)+(-x+y-5z)=-3+(-8) $$

   $$ 3y-8z=-11,\qquad y=\frac{8z-11}{3} $$

   Из третьего уравнения:

   $$ -x+y-5z=-8,\qquad x=y-5z+8 $$

   Подставим в второе уравнение:

   $$ 2x-3y+z=8 $$

   $$ 2\left(\frac{8z-11}{3}-5z+8\right)-3\cdot\frac{8z-11}{3}+z=8 $$

   $$ 35z=35,\qquad z=1 $$

   Тогда

   $$ y=\frac{8\cdot1-11}{3}=-1,\qquad x=-1-5\cdot1+8=2 $$

2. б) Вычтем из первого уравнения второе и третье:

   $$ (3x-5y+z)-(x+3y-2z)= -13-5 $$

   $$ 2x-8y+3z=-18 $$

   Удобнее выразить $z$ из второго уравнения:

   $$ x+3y-2z=5,\qquad z=\frac{x+3y-5}{2} $$

   Подставим в первое и третье уравнения:

   $$ 3x-5y+\frac{x+3y-5}{2}=-13 $$

   $$ 2x-2y+5\cdot\frac{x+3y-5}{2}=-6 $$

   После упрощения получаем систему:

   $$ 7x-7y=-21 $$

   $$ 9x+11y=13 $$

   Из первого уравнения:

   $$ x-y=-3,\qquad x=y-3 $$

   Подставим во второе:

   $$ 9(y-3)+11y=13 $$

   $$ 20y=40,\qquad y=2 $$

   Тогда

   $$ x=2-3=-1,\qquad z=\frac{-1+3\cdot2-5}{2}=0 $$

Ответ

а) $$(-2;\,-1;\,1)$$; б) $$(-1;\,2;\,0)$$.